2023 중력파 및 수치상대론 경진대회 - Prob1 수치해석학

 

 

 

 

 

초기 세팅 + 수치해석학 설명

유한차분법

유한차분법

반복을 통한 근사적 해 구하기

첫번째 방법

두번째 방법

세번째 방법

residual - 잔차

multigrid

 

 

 

수치해석학 1번 문제

FDM (finite difference method)

• 유한차분법
• 역행렬 구하는 것이 매우 어렵다
• 수학적으로 아름답지만, 현실적으로 불가능 

FDM: iterative method

• 반복을 활용하여 근사적으로 해를 구함
• 많이 반복할 수록 해에 수렴
  • 1. Gauss Seidel Method
    • 반복적으로 update를 통해 에러를 줄여나간다 == Relaxation
    • prob1 - 있는 그 자리에서 반복
    • 메모리 구조를 바꾸지 않는 inplace
    • 수학적으로 더 좋은 방법 -> 수렴성이 2배 정도 빠르다. 
  • 2. Jacovian Method
    • 새로운 메모리에 update
    • 스위치 - 반복 적용 - 스위치 - 반복 - ... 
    • 더 성능이 좋은 것은?
    • 컴퓨터로 구하면 야코비안이 16배 더 빠르다
    • Why? 
  • 3. Red-Black Ordering Method
    • 슈퍼컴퓨터 같은 환경에서 많이 활용
    • 값을 넘기기 위해 통신이 필요 -> 통신이 필요 없음 
    • 빨간 지점만 Relaxation -> 검은 지점 Relaxation
    • Relaxation 과정에서는 값을 넘겨줄 필요가 없음
    • 슈퍼 컴퓨팅처럼 문제를 쪼개서 풀 때 사용 
    • 이게 더 빠를까? 
    • 가장 빨리 실행되는 것을 정답으로 제출 

 

 

• 알고리즘 Sudo Code 제공
• f(x) = sin(πx) -> ρ (이차 미분) 
• Number of cells(N): 100

 

Residual

• 정확한 답을 모르는 상황에서는 에러를 어떻게 설정하지?
• 해가 수렴하는 지 어떻게 알꺼야? (성능을 측정할 기준)
• 일반적으로 exact solution을 모를 때, Residual을 활용
•  r = ρ - Af
• Residual이 0에 가까울수록 해가 수렴
• Exact solution, trial solution

Numerical Analysis: Multi-Grid

• Decay factor λ
• λ 작을수록 수렴을 잘 한다
• low frequency mode - λ 크다
• high frequency mode - λ 작다 -> 즉 잘 수렴함
• iteration method의 단점 - low frequency mode 수렴을 잘 못함

 

• 로 프리퀀시를 효율적으로 decay 할 방법은?
• 하이프리퀀시 모드는 cell의 개수로 결정된다. 
• Cell의 개수가 작은 모드 -> 로프리퀀시의 수렴성이 좋아짐
• 100개의 그리드 -> 50개 포인트로 보내면 -> 로프리퀀시가 효과적으로 제거
•  포인트 하나 쓸까? -> 하이프리퀀시 모드를 표현을 못한다.
• 하이프리퀀시로 갈 수록 더 많은 포인트를 써야 함
• 포인트가 많다 파인그리드, 적다 코어스그리드
• 수렴성이 매우 빠르다. (4번 문제)

 

 

Linear Interpolation

• 코아스 그리드의 포인트로 파인 그리드 포인트를 Interpolation 결정하는 것
• 같은 라인에 있는 포인트는 그냥 준다. 
• 가운데 포인트를 결정 -> 좌우 포인트 평균으로 결정
• add면 그냥 데려오고, even이면 평균 계산
• 이때, 소숫점은 버린다.

 

Full Weighting Restriction

• 파인 그리드에서 ρ 그리드를 결정하는 방법
• 단순히 포인트를 가져와서 넣는 것 보다는, 이게 더 좋은 방법
• Direct injection으로 짜도 돌아가긴 한다. 
• 그 위의 세 포인트를 이용한다.
• 평균 구하는 건데, 각각 웨이트가 있는 것. 더해서 1