2023 중력파 및 수치상대론 경진대회 - 아인슈타인 방정식과 블랙홀

 

 

 

 

🪐 아인슈타인 방정식과 블랙홀

- 아이슈타인 방정식
    - 광속 c가 들어갔다 -> 특수상대론의 개입을 의미
    - 응집 텐서  - 에너지 모멘텀 텐서
    - 고전 역학에서 배운 바와 달리, 인덱스를 뮤로 사용
    - 시간이 들어간다 - time이 좌표 축에 하나 더 들어감
    - 시간 + 공간 3방향 - 4개의 좌표가 필요하다 -> 시공간
    - Symmetric tensor 4 * 4 matrix -> 10개의 독립 텐서
    - 따라서 아인슈타인 방정식은 총 10개의 방정식
    - unknown은 10개일 것이다. 
        - 뭘 풀 지 안 나온다.

- 장 방정식
    - 왼쪽은 시공간, 오른쪽은 에너지: 물질의 분포
    - 맥스웰 방정식의 가우스 법칙
        - 전자기장의 다이버전스(벡터의 미분식) => 전하 소스
        - 전하가 전기장의 분포를 결정하는 미분 방정식
        - 이와 관련하여 T뮤뉴를 소스, G뮤뉴가 장을 의미
    - 아인슈타인 방정식의 장 론

- 메트릭 텐서
    - 길이와 각도를 주는 텐서
    - 일반 상대성 이론의 중요한 개념이 필요하다
    - Coordinate와 메트릭 텐서를 구분하여 보아야 한다.
    - 메트릭 텐서는 변하지 않는 양 / 좌표를 아무렇게나 깔 수 있다는 자유도가 있다
    - 좌표를 아무렇게나 깔아도 물리는 변하지 않는다. 
        - 좌표를 표현하는 방식에 따라 달리 보임 : 이것이 중요한 개념
        - 물리량을 좌표에 따라 다르게 보이도록 하기 위하여
        - Gauge fixing
            - 특정 조건을 만족하는 좌표계를 잡는다.

    - 공간에 그물처럼 텐서를 깔았다.
        - Dx, dy 길이는 1, 각도는 90도(0)
        - 민코프스키 space time
        - 메트릭을 갖고 있다면 표현 방식은 다르겠지만, 공간은 변화가 없다
        - 물리는 변하지 않는다

- 슈바르츠실트 블랙홀 메트릭
    - 블랙홀이 있을 때, 레이저를 그물로 깐다
    - R 방향만 길이가 다르게 그물이 깔린다.
    - 구형 / 직교 좌표계 - 물리적 실체는 동일

- 아인슈타인 방정식 10개의 식 
- 4개의 좌표계 fix - 4개의 방정식을 임의로 주어야 한다.
    - Gauge fixing
    - 식 4개를 더 얹어야 한다 -> 6개의 식이 남는다. 
- 6개의 방정식, 6개의 unknown을 푸는 문제 

- 왼쪽의 미분 operator
- 구면의 리치 스칼라 / 리치 텐서
    - 아주 작아지면, 곡률이 굉장히 커진다. 
    - 한 점을 직어도 평평하다고 볼 수 없다
    - 곡률을 뜻한다. (R: 공간의 휨을 나타내는 양)

- Initial condition
    - 1차 미분 방정식 - 1개
    - 2차 미분 방정식 - 조건 2개
    - 아인슈타인 방정식 - 미분이 total X, partial O
        - 3차원 공간 자체를 initial로 만들어야 함
        - Initial value problem 
            - 편미분 방정식: 코시 - 
            - 편미분에서는 초기 조건 문제가 어렵다

- 바깥에서 영향을 주면 인과 관계가 깨진다.
    - 45도 벗어날 수 없음 (빛의 속도보다 빠른 변화는 X)
    - 원뿔대 내부에서만 영향을 주어야 함
- Initial data가 깔리는 공간 - 코시 surface

- Hyper Space
    - 시공간의 한 단면

- 축의 변환
    - X, Y 축을 바꾸는 것은 마음대로 가능
    - 이때 바뀌는 벡터 -> Shifted Vector

- 밴딩한 슬라이스를 사용한다면?
- 양파 껍질 위에 사는 사람은, 곡률을 느끼는 세계에 살게 된다.
- 길면 길수록 밴딩이 덜 되었다. 
- 헤밀토니안 constraint - 에너지가 들어가기 때문
- 모멘텀 constraint, 중력파를 나타내는 각은 2개

- 중력파의 특징
    - 모양을 변형하는게 아니라, 면적을 변형시킨다.